Shinies et probabilités

(en deux messages)


I - introduction

Un des objetcifs de certains joueurs de PKMN est la recherche et la capture de shinies, PKMN brilliants. Ce document s'intéresse à l'aspect mathématique de leur recherche, en particulier aux probabilités d'en trouver.
Les résultats présentés plus loin sont valables pour les versions des jeux PKMN dans lesquels la probabilité de rencontrer un shiny est de 1/8192 (Diamant, Perle et Platine entre autres).

D'un point de vue mathématique, c'est un problème très simple et bien connu appellé loi binomiale (il s'agit d'une des loi de probabilité les plus anciennes). Toutefois, tous les joueurs de PKMN n'ayant pas nécessairement le niveau requis pour comprendre les mathématiques impliquées, le document sera vulgarisé et peu de formules seront présentes. N'ayez crainte, tout ce qui sera écrit plus loin est donc à votre portée !

Tout d'abord, pourquoi s'intéresser à ceci ? N'est-ce pas suffisant de savoir que nous avons une chance sur 8192 de rencontrer un shiny ? Et bien, il se trouve que beaucoup de personnes, avant d'apprendre les mathématiques sous-jacentes, ne comprennent pas toujours certaines subtilités de ce qu'implique une expression telle que "X chances sur Y" ou "probabilité de X/Y". Pourtant, la chasse aux shinies est une tâche qui demande de longs efforts, et cela peut en décourager certains. Mieux comprendre ce qui se passe dans cette situation pourra peut-être aider certains d'entre vous à mieux supporter les difficultés psychologiques induites par l'échec répété et lassant de la recherche de shinies.


II - le concept de probabilité

Lorsque nous parlons de probabilité, c'est que nous ne savons pas tout (et souvent ne pouvons pas tout savoir) d'une certaine situation. Ici en particulier, nous ne savons pas quand va apparaitre notre shiny convoité. Alors nous essayons de le deviner, en quelque sorte, et nous disons "Voilà, on dirait bien que les choses vont se passer comme ça : 1/8192 !" Autrement dit, ayant rencontrés 8192 PKMN, combien de shinies auront-nous rencontré ? Nous devinons 1 (les raisons de ce 1 ici viennent de la façon dont les jeux PKMN ont été faits).

Est-ce que cela veut dire que nous allons rencontrer exactement 1 shiny ? Non, ce n'est pas ce à quoi nous nous attendons. Par probabilité de 1/8192, nous voulons plutôt dire que le nombre de shinies que nous allons rencontrer en 8192 essais sera quelque part proche de 1. Peut-être 0, ou bien 2, ... Mais voilà, nous pensons tomber plutôt sur 1 que 0 ou 2.
Si nous essayons de rencontrer 81920 PKMN par exemple (et nous allons le faire bientôt !), nous allons peut-être rencontrer certains shinies... Combien ? Nous ne le savons pas, mais en tout cas, ce que nous pensons depuis tout à l'heure, c'est que ce sera environ 10 (1/8192 = 10/81920). Nous pensons tomber sur 10 plutôt que 7, 8, 9, 11, 12, 13, ...

C'est ce que nous voulons dire par "probabilité de 1/8192".


III - quelques simulations

Maintenant, essayons donc de rencontrer 81920 PKMN ! En fait, nous gagnerons beaucoup de temps en demandant à un ordinateur de le faire pour nous. Nous allons le simuler : nous n'allons pas passer des années à se promener dans les hautes herbes, mais nous allons créer une situation similaire, nous allons utiliser un autre évènement qui a une probabilité de 1/8192 que l'ordinateur peut comprendre. Comme ça, ce sera fait en un clin d'oeil (mais je n'aurais en fait trouvé aucun shiny sur ma partie de PKMN ! snif). Nous allons simplement compter le nombre de shinies rencontrés parmi ces 81920 PKMN.



Lisez la deuxième ligne de l'image, le reste n'étant là que pour montrer qu'il n'y a pas eu de triche. 13 shinies ! Ce n'est pas trop loin de 10, c'est à peu près cohérent avec ce que nous disions tout à l'heure. Réessayons !



10 ! Cette fois nous avons trouvé exactement 10 shinies ! Comme nous l'avons vu, ce n'est toutefois pas obligatoire, nous sommes tombés sur 13 la première fois.

Réessayons encore 1000 fois. Et nous allons compter les résultats : combien de fois nous avons trouvé 10 shinies, combien de fois nous avons trouvé 9 shinies, etc. La distribution des résultats est affichée sous forme d'histogramme ci-dessous.



Sur ces 1000 expériences, nous avons trouvé 10 shinies 118 fois. Mais nous avons trouvé 9 shinies plus souvent ! 120 fois exactement. C'est ce qui est appellé une fluctuation. Cela ne signifie pas que nous nous sommes trompés, et que trouver 9 shinies est plus probable que d'en trouver 10. 10 est la valeur la plus probable. Pour s'en convaincre, si nous comptons le nombre total de shinies rencontrés, nous remarquons qu'il est plus proche de 10000 que de 9000 : c'est 9862, pour 81920000 essais. Mais rien ne nous place à l'abri des fluctuations.

Les mathématiques nous permettent de prédire exactement ce qui aurait du se passer s'il n'y avait pas eu de fluctuations. Voici le résultat :



Les mathématiques permettent également de prédire ce que devraient être les fluctuations en moyenne, ou l'écart-type. Dans notre exemple, l'écart-type est d'environ 3.162084644, ce qui veut dire qu'en moyenne, on peut s'attendre à observer la courbe ci-dessus, plus ou moins la valeur de l'écart-type.

La chose la plus importante à retenir de ces simulations est le comportement de la distribution des résultats. Si vous et vos amis dresseurs avez rencontré le même nombre de PKMN, vous n'aurez pas forcément rencontré le même nombre de shinies.
Si X est le nombre de PKMN que vous avez rencontré, la plupart d'entre vous auront trouvé X/8192 shinies (arrondi à l'entier le plus proche), mais il faut bien voir que ce n'est pas automatique.
En fait, peu importe X, la distribution aura une forme très similaire à celle pour X=81920 (c'est notre exemple dans ce document). X/8192 sera la valeur la plus probable (10 dans notre exemple, 81920/8192 = 10), mais beaucoup d'entre vous auront aussi trouvé (X/8192)-1 ou (X/8192)+1 shinies (9 ou 11 dans notre exemple). En particulier, remarquez que le nombre d'entre vous ayant trouvé très peu shinies n'est pas nul ! Et il en va de même pour ceux qui en ont trouvé beaucoup plus ! Si quelqu'un digne de confiance prétend que ça lui est arrivé, nous devons le croire.
Dans notre simulation, le résultat d'un de nos essais n'a été que de trouver 2 shinies ! Alors qu'une autre fois, nous en avons trouvé 21... Mais ce n'est arrivé qu'une seule fois. Le plus souvent, et pour la plupart d'entre vous, ce sera bel et bien X/8192 shinies.


IV - quand allons-nous trouver nos shinies ?

Vous l'avez sans doute déjà compris, nous ne pouvons pas répondre avec certitude. La seule chose que nous puissions faire, une fois de plus, est de donner des probabilités.

Intéressons nous en premier lieu à la probabilité d'avoir trouvé un shiny (un et un seul, ne pas confondre avec "au moins un" !) en fonction du nombre de PKMN rencontrés.



Devinez quel est le nombre de PKMN rencontrés pour lequel nous avons la plus grande probabilité d'avoir trouvé un shiny ? 8192. Cela ne veut pas dire que c'est le 8192ème PKMN rencontré qui a la plus grande chance d'être un shiny, mais que c'est là que nous avons la plus grande chance de l'avoir rencontré parmi les 8192 PKMN précédents. Le shiny peut être n'importe lequel d'entre eux, le 1er comme le 8192ème. Nous pouvons donc retenir que nous avons les plus grandes chances de trouver un (un seul) shiny dans les 8192 premiers PKMN que nous rencontrerons, la probabilité que cela se produise étant environ de 0.3679018963 (environ 37 chances sur 100).

Certains peuvent objecter, en voyant le graphique : "Mais pourquoi la probabilité diminue-t-elle ensuite ? Ne sommes nous pas sensés augmenter la probabilité de trouver un shiny avec le temps ?"
Premièrement, la probabilité de trouver un shiny n'augmente pas avec le temps, elle est et elle reste 1/8192 à chaque PKMN rencontré. Ici, c'est la probabilité d'avoir trouvé un shiny après X PKMN rencontrés dont nous parlons.
Deuxièmement, nous parlons d'un seul shiny. Il faut donc prendre en compte que tôt ou tard, le nombre de PKMN rencontrés grandissant, nous aurons plus de chances d'avoir trouvé plusieurs shinies qu'un seul. C'est l'une des raisons qui permet de comprendre la baisse de la probabilité à partir de 8192 PKMN rencontrés.

Pour compléter, voyons les probabilités d'avoir trouvé deux, puis trois shinies en fonction du nombre de PKMN rencontrés.





Et voici les trois courbes sur le même graphique :



Il est intéressant aussi de se demander quelle est la probabilité d'avoir trouvé au moins un shiny en fonction du nombre de PKMN rencontrés. Comment faire ? Procédons par étapes. D'abord, cherchons la probabilité d'avoir trouvé 1 ou 2 shinies en fonction du nombre de PKMN rencontrés. Ce n'est pas très difficile, il nous suffit d'ajouter la probabilité d'en avoir trouvé 1 à la probabilité d'en avoir trouvé 2. Le résultat sur le graphique ci-dessous est en rouge (en vert nous avons la probabilité d'en avoir trouvé 1, en bleu celle d'en avoir trouvé 2).



De la même façon, ajoutons les probabilités d'en avoir trouvé 1, 2 et 3. Nous obtiendrons ainsi la probabilité d'en avoir trouvé 1 ou 2 ou 3. Ci-dessous, nous avons la probabilité d'en avoir trouvé 1 ou 2 ou 3 en rouge, d'en avoir trouvé 1 en vert, d'en avoir trouvé 2 en bleu, et d'en avoir trouvé 3 en violet, tout cela en fonction du nombre de PKMN rencontrés.



Nous allons maintenant comparer la probabilité d'en avoir trouvé 1 (rouge dans le graphique ci-dessous), d'en avoir trouvé 1 ou 2 (vert), et d'en avoir trouvé 1 ou 2 ou 3 (bleu). En fait, ces probabilités augmentent et tendent en fin de compte vers la courbe que nous cherchons, la courbe qui donne la probabilité d'avoir trouvé au moins un shiny en fonction du nombre de PKMN rencontrés. Cette courbe est donnée en violet, et elle est obtenue en ajoutant la probabilité d'avoir trouvé 1 shiny, d'en avoir trouvé 2, 3, 4, ... jusqu'à l'infini. (Il existe des façons plus simples et plus rapides pour obtenir cette courbe, mais moins évidentes à comprendre intuitivement.)



Voici donc, le graphique qui donne la probabilité d'avoir rencontré au moins un shiny en fonction du nombre de PKMN rencontrés :



Cette courbe est plus facile à comprendre que celle qui donne la probabilité de ne trouver qu'un shiny, car ici, la probabilité augmente toujours, tendant vers 1. Il n'y a pas de baisse. Plutôt intuitif, n'est-ce pas ? Plus vous avez rencontré de PKMN, plus il y a de chances que vous ayez trouvé au moins un shiny.

Lorsque vous avez rencontré 5678 PKMN, la probabilité est environ de 0.5. Vous avez donc 1 chance sur 2 d'avoir déjà trouvé non pas seulement un mais au moins un shiny.

Lorsque vous avez rencontré 37724 PKMN, la probabilité est environ de 0.99. Vous avez donc 99 chances sur 100 d'avoir déjà trouvé au moins un shiny. Vous pouvez donc être presque sûr (presque !) d'en avoir trouvé. Rappellons-nous des histogrammes issus de nos simulations, nous disions que le nombre de shinies trouvés le plus probable est de X/8192 où X est le nombre de PKMN rencontrés. Ici, avec X = 37724, nous voyons que la plupart d'entre nous auront déjà trouvé 5 shinies ! Certains d'entre nous n'en auront pas trouvé un seul, et d'autres en auront peut-être des milliers (mais ces gens là sont beaucoup plus rares que les shinies eux-même) !

A 8192 PKMN rencontrés, la probabilité d'avoir vu au moins un shiny est environ de 0.63214301355. Environ 63 chances sur 100. Ce n'est pas mal du tout. Si nous nous rappellons que la probabilité de n'en avoir vu qu'un seul est d'environ 0.3679018963, nous pouvons en déduire la probabilité d'avoir vu plus d'un shiny après avoir rencontré 8192 PKMN : 0.2642411173. Environ 1 chance sur 4, un peu moins que la probabilité de n'en avoir vu qu'un.

Une erreur à ne pas commettre en regardant les graphiques précédents est de penser "Wahou, la probabilité d'avoir vu au moins un shiny est proche de 1 après 30000 PKMN rencontrés. Il me faut donc voir 30000 PKMN avant de trouver un shiny !" C'est tout simplement faux. Nous venons de le voir, lorsque la probabilité est de 0.99, la plupart d'entre nous auront 5 shinies. Et à ce propos, la probabilité de n'avoir trouvé qu'un seul shiny à 30000 PKMN rencontrés est plutôt faible : 0.094027167785. Ce qui nous donne une probabilité de 0.8803002312 d'avoir trouvé plus d'un shiny, une probabilité environ 9 fois plus grande que celle de n'en avoir trouvé qu'un.

Qu'en est-il de la probabilité de n'avoir trouvé aucun shiny en fonction du nombre de PKMN rencontrés ? La courbe est obtenue avec une réflexion par l'axe y = 0.5 de la courbe donnant la probabilité d'avoir trouvé au moins un shiny. La voici :



Par conséquent, ne désespérez pas trop vite !

V - notre premier shiny

Pour terminer, voyons voir quand est-ce que les dresseurs ont tendance à trouver leur premier shiny. Nous allons utiliser une simulation mettant en place 1000000 dresseurs. Chacun d'eux ira rencontrer des PKMN jusqu'à ce qu'il rencontre un shiny, puis il arrête de rencontrer d'autres PKMN. Nous allons compter combien de dresseurs parmi ces 1000000 ont eu leur shiny au premier PKMN rencontré, combien ont eu leur shiny après 2 rencontres, etc. Voici le résultat sous forme d'histogramme :



117 dresseurs sur 1000000 ont eu leur shiny au premier PKMN rencontré, alors que seulement 1 dresseur l'a eu après 109956 rencontres. C'est plutôt encourageant !

La courbe ressemble étrangement à celle qui donne la probabilité de n'avoir trouvé aucun shiny en fonction du nombre de PKMN rencontrés, à un facteur d'environ 150 près. Est-ce une coincidence ? Evidemment, non.
Imaginez un dresseur qui obtient son premier shiny au 100ème PKMN rencontré. Qu'en était-il au 99ème PKMN rencontré ? Il n'avait vu aucun shiny. Ainsi, le nombre de dresseurs ayant vu leur premier shiny en X rencontres décroit de façon liée à la probabilité de n'avoir rencontré aucun shiny.
C'est en voyant les choses sous cet angle que le lien entre les deux courbes est le plus évident.
Si vous pensez plutôt que la courbe aurait dû ressembler à celle qui donne la probabilité d'avoir vu au moins un shiny, voici un argument qui peut vous aider : la courbe donnant la probabilité d'avoir vu au moins un shiny ne prends pas seulement en compte le premier shiny, et d'autre part il est contre-intuitif de se dire que beaucoup plus de dresseurs ont rencontré leur premier shiny après 50000 rencontres qu'entre 1 et 8192 rencontres. De plus, nous ne regardons pas le nombre total de dresseurs ayant eu leur shiney, nous n'ajoutons pas l'effectif de ceux qui l'ont eu après un certain nombre de rencontres à l'effectif de tous ceux qui l'ont eu précédemment.

Quand nous commencons une recherche de shiny, le jeu n'est pas là en train de penser "Hé il a déjà des shinies, je vais faire n'importe quoi !", non, il ignore complètement le fait que nous ayons déjà ou non des shinies. En d'autres termes, la courbe ci-dessus peut nous donner une idée intuitive de ce à quoi nous attendre à chaque fois que nous commencons une chasse ! Elle ne donne aucune probabilité, c'est un histogramme, donc n'allons pas penser que nous avons plus de chances de trouver un shiny au premier essai qu'au 10000ème (comme dit plus tôt, la probabilité de trouver un shiny est là même à chaque rencontre : 1/8192). Toutefois, la probabilité d'avoir rencontré 0 shinies, elle, diminue bel et bien lorsque nous avons rencontré plus de PKMN.

En fin de compte, la situation n'a pas changée. Mais peut-être que votre vision de la situation a changée. Peut-être étiez vous plus pessimiste avant, ou plus optimiste. Mais quoi qu'il en soit, les mathématiques ne mentent pas.


VI - Foire aux questions

Cette partie du document sera complétée plus tard, en fonction des questions que l'on m'aura le plus souvent posées. Le document contient de nombreux graphiques et aborde de nombreuses questions, par conséquent, lorsque vous avez une question, essayez de faire référence au sujet de votre interrogation de la façon la plus précise et la plus claire possible.


VII - Informations générales, remerciements

Vous pouvez librement utiliser les résultats et les graphiques de ce document (pour votre usage personnel, pour votre site web, pour aider vos amis, ...) sans m'en demander l'autorisation si vous remplissez les conditions suivantes :
-vous ne prétendez pas être l'auteur de ces travaux
-vous n'utilisez pas ces résultats pour gagner de l'argent, de quelque manière que ce soit, et en particulier, vous ne les faites pas consulter en échange d'une rétribution

Le programme utilisé pour faire les graphiques est Gnuplot, les programmes des simulations ont été exclusivement écrits en Python.

Qui suis-je ? A l'heure où j'écris ces lignes, je suis un étudiant en physique fondamentale. Vous l'avez deviné, j'aime les mathématiques et les jeux vidéo !

Je remercie Link_enfant de m'avoir donné envie de présenter les détails de ce problème aux joueurs de PKMN, et de m'avoir judicieusement suggéré de le faire de manière adaptée aux joueurs n'ayant pas les connaissances mathématiques nécéssaires pour faire cette analyse eux-même.

Je vous invite à m'adresser vos commentaires, remarques, suggestion, critiques et questions dans ce topic.

25/07/2009 - Première version du document.

Merci à toi pour toutes ces informations utiles
Je demande à ce que ce topic ne disparaisse pas comme l'autre qui avait été fait il y a longtemps, et même mieux, qu'il soit mis en post-it si possible ^^

Que te dire sinon merci énormément pour tout ça. Je connaissais bien le fameux 1/8192, mais là, tu me rend plus optimiste avec ton travail.

Ce que tu dis sur le jeu qui ne pense jamais "hé, il a déjà vu/eu un shiny!", je le pensais, mais de le lire écrit par quelqu'un d'autre, en l'occurence toi, ça me rassure.

Et puis j'aime bien les maths, merci à Willy de m'avoir dirigé sur ton topic.

D'ailleurs j'entre en L1 Maths-Info en septembre.

Bon, et bien merci encore et bonne continuation !

Ce que tu as fait est génial !
Pour l'instant il y a des trucs que j'ai pas encore compris mais je reprendrais tous ça la tête plus reposés %)
En tout cas c'était super intéressant !

c'est genial c'est un topic que j'apprecis personnellement car vous m'en avez appris d'avantage sur les shiny et leurs apparition , a croire que je poser deja beaucoup de question au niveau de sa cela a pu repondre a mes question et je repart a la shasse

C'est vraiment bien expliqué! Un bon bravo pour ton travail ^^
J'ai appris quelques trucs très intéressant !

Très intéressant tout ça, pour ma part j'avais déjà fait le tour de toutes ses questions avec Armand, mais sa va en aider beaucoup, je mets donc en Post-it

Qui d'autres que 19.999099979 aurais pu ouvrir ce topic ? Je n'ai pas encore eu le temps de tout lire mais sa viendra après quand j'aurais le temp Donc merci à toi

Merci pour vos commentaires.

N'hésitez pas à le lire en plusieurs fois, c'est un peu long si on n'est pas habitué à lire des maths tout le temps, je pense. Et surtout, posez des questions si vous ne comprenez pas quelque chose !

Ce topic est génial

Par contre j'ai pas encore tout compris XD

Is there a certain formula you utilize to get those percentages? For example, how do you know that the median is 5678, or that after 8192 encounters, the chance that only one of them is shiny is about 67 in 100?

For example, I have encountered nearly 15,000 Pokemon on my Ruby version, and I have not seen a shiny. Is there a formula I can use to determine the chances of seeing at least one shiny in 15,000 encounters?

ShinyFufu a écrit:

Is there a certain formula you utilize to get those percentages? For example, how do you know that the median is 5678, or that after 8192 encounters, the chance that only one of them is shiny is about 67 in 100?

For example, I have encountered nearly 15,000 Pokemon on my Ruby version, and I have not seen a shiny. Is there a formula I can use to determine the chances of seeing at least one shiny in 15,000 encounters?

Actually, it si very simple. All I used is the binomial distribution formula in various circumstances and with different parameters :



You have to unterstand this as "Pr(K = k) is the probability that after n encountered pokemons, I have already met k shinies".
Mainly, what you want to do is to take p = 1/8192, n = number of pokemons you have encountered, k = number of shinies you want to check the probability for.
What I plotted above is Pr(K = 0) as a function of n, Pr(K = 1) as a function of n, Pr(K = 2) as a function of n, and so on.
Also keep in mind that Pr(K = 2) for instance is the probability that you already met exactly 2 shinies, not "1 or 2". If you want the probability to have met one or two shinies, you have to add Pr(K = 1) and Pr(K = 2). I plotted it too.
To get the probability of having found at least one shiny in your previous encounters with pokemons, as a function of n, you have to add Pr(K =1), Pr(K = 2), ... ad infinitum, although it is much simplier to take (1 - Pr(K = 0)) which for obvious reasons give the same result.

If you are not comfortable with maths, or if you have not learned it yet at school, you may want to know that

which is important in the above formula, x! being x factorial, meaning x! = (x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)...(3)(2)(1)

I hope that it helped. Feel free to ask anything else if you still have doubts about my plots or anything.

If you want an explicit formula that you can easily and quickly apply in your daily life to check how are probabilites that you have found a shiny evolving, I may found the formula for you, if you don't feel like to do it yourself. =) If you try it yourself, remember to make simplifications when computing n!/(k!(n-k)!), you can blast a lot of factors in the numerator and the denominator.

And sorry for my english mistakes, I am still not very fluent with it. ^_^



Désolé auprès des modérateurs, mais j'ai pensé qu'il vallait mieux répondre en anglais vu les circonstances. ^^'

Tu me rappelles mon cours sur les probas de ce type qu'on a faites à la fin de l'année et qu'on s'est reçues au bac, merci, je viens de voir qu'en anglais j'arrive à piger assez aussi. Merci encore. <3

Your English is just fine, I was able to understand what you said perfectly.

However, math is not my strong point, and the formula you posted is far too complex for my understanding. The only thing I understood was this:


Is that the formula I should use if I want to find out the probability of finding ONLY ONE shiny after 'X' amount of encounters?

Il y a des curiosités mathématiques très intéressantes avec les shinys, et j'ai parcouru de nombreuses autres pendant mes vacances.
Sur le dossier en lui-même, une remarque simpliste :
Il ne paraît pas forcément évident que la plus grande chance de trouver le shiny à une position précise, sachant qu'on n'a pas encore commencé la recherche, est à la première rencontre. Il faut imaginer qu'à chaque rencontre, on a déjà eu des chances de voir le shiny avant, donc forcément la probabilité de le trouver à la 1ère rencontre est plus importante que de le trouver à la 500ème. Si tu traces la courbe représentative exacte (et non une simulation qui ne fait que l'approcher), et que tu en fais l'intégrale, tu trouveras 1. Nous sommes en présence d'une loi de probabilité continue.

Sinon j'ai le projet depuis longtemps de créer un dossier Mathématiques. J'attends d'avoir une quasi-totalité d'informations et de remarques, qu'elles soient bilboques ou intéressantes, avant de le commencer. J'ai été touché à ma rentrée de vacances en voyant cela, et surtout de voir que tu t'es intéressé à certains aspects que j'aimerais développer. J'aimerais savoir si tu serais intéressé pour travailler avec moi (pas tout de suite, sur les prochains jours j'ai beaucoup de choses à faire) sur le dossier Mathématiques pour SH. Si pour trouver une solution être un suffit généralement à condition que cet individu soit bon, en ce qui concerne la curiosité, on ne peut prétendre aborder la quasi-totalité de l'aspect des mathématiques avec les shineys seul.
Merci.

ShinyFufu a écrit:

Is that the formula I should use if I want to find out the probability of finding ONLY ONE shiny after 'X' amount of encounters?

Nope, it is not.
There is a rather subtle difference between the probability of finding a shiny at your Xth encounter or after X encounters, and the probability that you have found a shiny previously, having encountered X pokémons. The probability of finding a shiny at any encounter is 1/8192, while the probability that you already have found one in your previous encounters is what I really ploted.

The formula to compute the probability of having found one (and only one) shiny previously, is n times p times ((1-p) to the power (n-1)), with n being the number of pokémons that you have encountered, and p being 1/8192. Shortly : Pr(K = 1) = n*p*((1-p)^(n-1))
(here* means to multiply and ^ means that you rise something to a power)

The formula that you mistook for the probability is called a binomial coefficient, it is a very useful formula that helps to compute probabilities, although these so called binomial coefficients are not themselves probabilities of whatsoever.

I'll be happy to answer if you have any other question. =)



Et pour te répondre, Armand, en fait je connais assez peu les jeux pokémons et je ne vois pas dans quoi d'autre je pourrais approfondir par moi-même tout en ayant un intérêt pour cela. D'ailleurs, je n'ai pas eu l'idée moi-même pour les shinys, j'ai discuté deux minutes avec Link_enfant sur MSN pour qu'il me donne l'idée de regarder un peu ce qui se passe avec ces probabilités, il n'a suffi que de ça. =) Donc si tu as quelque chose à me proposer, ça m'intéressera peut-être si j'ai assez de temps (ça risque d'être assez difficile à partir de la rentrée, d'autant plus que mon ordinateur est assez occupé sur le plan des simulations pendant ces périodes à des choses plus... physiques ^^). Mais n'hésite pas à me demander un coup de main si jamais tu en as besoin, on ne sait jamais ! Contactes-moi en privé si tu veux en discuter.

Je ne pense pas que la première S t'aidera, ce sont des notations vues en terminale.

n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
Par exemple : 6!=6*5*4*3*2*1=720 et par convention 0!=1
n! se lit "n factoriel"

La parenthèse qui contient un n en haut et un k en bas signifie : "k parmi n" et se calcule avec la formule située à côté. Il donne un nombre de combinaisons (listes (le terme est impropre) sans répétition et sans ordre).
Par exemple "1 parmi 12"=12!/(1!(11!))=12, ce qui est normal puisqu'on ne peut faire que 12 listes de 1 sans répétition et sans ordre avec douze éléments.

19.999099979, je te contacterai alors sans doute un jour. Je n'avais pas encore pensé à représenter la répartition des shinys autour de la moyenne, et donc à pouvoir observer une courbe de Gauss. C'est très intéressant et je travaillerai alors cet aspect.

Aero-Gungir a écrit:

Et s'y on trouve au moins un shiny, est ce que le "au moins un shiny" retombe à zéro ?

est ce que c'est une chaine sans fin : ce qui veux dire que plus on trouve de shiny moins on a de chances d'en retrouver à la longue ?

Non, la chance reste la même. Tous cela ne sont que des simulations.

Azerty54 a écrit:

Aero-Gungir a écrit:

Et s'y on trouve au moins un shiny, est ce que le "au moins un shiny" retombe à zéro ?

est ce que c'est une chaine sans fin : ce qui veux dire que plus on trouve de shiny moins on a de chances d'en retrouver à la longue ?

Non, la chance reste la même. Tous cela ne sont que des simulations.

Ce n'est pas parce que ce sont des simulations (et pour la plupart des graphiques montrés, ce n'est même pas des simulations ^^) que la chance reste la même.

En fait j'ai un peu de mal à saisir la question : tu veux dire "est-ce que je peux voir les choses comme si je repartais de 0 n'importe quand en considérant que je n'ai pas trouvé de shiny et regarder tes courbes comme si je cherchais des shinys pour la première fois ?" ou bien veux-tu dire "est-ce que plus le temps passe, moins j'ai de chances de trouver de shinies ?"

Pour la première question, la réponse est oui, ça ne change rien en ce sens que les courbes vont correctement décrire les probabilités qui te concernent à partir de ce moment là.

Pour la deuxième question, c'est non. La probabilité de trouver un shiny ne diminue ni n'augmente avec le temps. J'ai essayé de mettre un peu l'accent sur ça, tu as du le remarquer, c'est quand j'écris "avoir trouvé" que les probabilités peuvent changer dans le temps, quand je parlais de "trouver" simplement, la probabilité ne change pas. =)

En fait je ne connais pas la façon dont le jeu a été programmé, il se peut que le jeu prenne en compte le nombre de shinys trouvés dans le passé pour générer certains paramètres qui lui serviront à déterminer quelques évenements dans le jeu, mais ce n'est pas sensé changer le 1/8192 dans l'idéal. J'en sais vraiment rien du tout, en fait j'imagine que comme dans beaucoup de jeux, les événements dépendent de la frame à laquelle on les rencontres, en fonction d'un générateur de nombre aléatoire utilisant l'heure. C'est p'tet le cas dans Pokémon, c'est un système assez courrant pour les RPG. Si le générateur aléatoire prends le nombre de shniys en compte, ça pourrait changer. Il y a p'tet des programmeurs sur le forum qui connaissent mieux que moi. ^^'



El Cazador, je regrette, je ne connais aucun moyen de vérifier ça. En tout cas les simples statistiques que j'ai montré ne le permettent pas. Il y a peut-être d'autres moyens qui me sont inconnus (statistiques, j'en doute, mais dans le jeu en étant un peu malin, pourquoi pas). ^^

Je n'ai toujours pas compris. ^^ Je vais faire comme si : je reformule ce que je crois que tu as voulu dire, et j'y réponds.

Ce que tu demandes c'est, lorsque tu trouves un shiny, est-ce que tu peux regarder la courbe donnant la probabilité d'en avoir trouvé au moins un en imaginant que tu as fait 0 rencontres en ignorant les shinys que tu as déjà, ou alors est-ce que tu peux continuer à partir du nombres de rencontres que tu as déjà fait.

Si c'est ta question, tu peux adopter les deux points de vue à certaines conditions.

Le premier si tu fais comme si tu n'avais pas déjà de shiny, tu te remets à compter de 0, et ça marche (de façon mathématique idéale, sans prendre en compte les subtilités des algorithmes du jeu que j'ignore).

Le deuxième, tu viens de trouver ton shiny après un cerain nombre de rencontres, ça t'en fais un de plus, et tu continues de regarder la courbe qui ne donne rien d'autre qu'une probabilité, qui sera toujours vraie. Concrètement si tu trouves ton shiny à la 100ème rencontre, ça ne change pas le fait que la probabilité d'avoir trouvé au moins un shiny dans ces 100 rencontres précédentes est ce qu'elle est selon le graphique, peu importe si tu as déjà trouvé des shinies ou pas. Ca n'influe pas la probabilité. Et les probabilités que ce graphique te donnera plus tard à partir de là seront également vraies.